Hierdie navorsingsgroep word gelei deur dr. Bruce Bartlett, wat ook 'n lid is van die breër navorsingsgroep "Getalteorie en Meetkunde". 

Navorsingsoorsig

Die afgelope twee dekades of so het 'n merkwaardige herlewing in die interaksie tussen suiwer wiskunde en teoretiese fisika gesien. Vir wiskunde het dit gelei tot 'n toestroming van diepgaande nuwe idees, idees wat dikwels vreemd en bisar lyk vanuit 'n tradisionele wiskundige perspektief, maar wat nietemin nuttig geblyk het. Spesifiek was dit die impak van idees uit kwantumveldteorie op meetkunde wat die nuttigste was; dit het 'n nuwe veld genaamd "kwantumtopologie" voortgebring wat probeer om hierdie idees te verstaan ​​en in 'n samehangende wiskundige raamwerk te plaas. 

Die hooftema is om die fisikus se kragtigste instrument, die "padintegraal", te probeer verstaan ​​en die gevolglike strukture te gebruik om nuwe invariante van geometriese voorwerpe soos knope en veelvoude te bereken. Hierdie poging put uit baie dele van moderne wiskunde soos hoër kategorie-teorie, homotopieteorie en voorstellingsteorie. 

Om 'n idee te kry van waaroor "kwantumtopologie" gaan, oorweeg die volgende twee knope:

Kan die linkerknoop (bekend as die "linkerklaverknoop") voortdurend vervorm word in die regterknoop (bekend as die "regerklaverknoop")? 

Die reël is: jy mag die stringe van die knoop voortdurend in die ruimte vervorm, maar jy kan nie die stringe deur mekaar laat gaan nie. Miskien as ons die linkerklaver "om" draai? Nee - probeer dit, jy sal iets kry wat nie dieselfde is as die regterklaver nie. Dus, ons vermoed hierdie twee knope is nie dieselfde nie. Maar hoe kan ons dit bewys? Wel, een manier om dit te bewys, is deur die Jones-polinoom van elke skakel te bereken. 

In 1984 het Jones 'n manier ontdek om polinome aan knope toe te ken, op so 'n manier dat as twee verskillende knope verskillende Jones-polinome kry, dan weet ons dat hulle nie in mekaar vervorm kan word nie! Dit blyk dat die Jones-polinoom van die linkerklaver is

−1/t4+1/t3+1/t

terwyl die Jones-polinoom van die regterkantse drieblaarknoop is

t+t3−t4.

Hierdie twee polinome is nie dieselfde nie ... so die knope kan nie in mekaar vervorm word nie!

Om meer oor hierdie soort ding te lees, probeer die volgende verwysings:

• Sossinsky, Mathematics with a twist. Introductory book about knots and some of the quantum invariants. For the lay reader, contains a few errors but extremely readable.
• John Baez, Quantum gravity lecture notes.
• Atiyah, The geometry and physics of knots, Lezioni Lincee (1990). Book by Atiyah explaining Witten’s quantum field theory formulation of the Jones polynomial in terms of Chern-Simons theory.
• Jones, The Jones polynomial. Quick introduction to the Jones polynomial from Vaughan Jones himself.
• Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Original paper by Witten outlining a geometric explanation for the Jones polynomial in terms of quantum field theory. Still very readable and a good introduction to the subject.
• Bruce Bartlett, Categorical aspects of topological quantum field theories. A Master's thesis of mine which gave a rough outline of topological quantum field theory from the higher-categories angle.